线性规划

数学建模

发布日期: 2023-03-27

文章字数: 723

阅读时长: 3 分

线性规划模型

题目要求：

某工厂需要利用三种原材料（分别记为1、2、3）混合调配出三种不同的产品（甲、乙、丙）。具体材料要求及产品利润如下表所示。请建立数学模型，为该厂安排生产规划，使其利润最大。

产品名称规格要求单价

甲原材料1不少于50%，原材料2不超过25% 50

乙原材料1不少于25%，原材料2不超过50% 35

丙不限 25

原材料名称每天最多供应量单价

1 100 65

2 100 25

3 60 35

产品名称	规格要求	单价
甲	原材料1不少于50%，原材料2不超过25%	50
乙	原材料1不少于25%，原材料2不超过50%	35
丙	不限	25

原材料名称	每天最多供应量	单价
1	100	65
2	100	25
3	60	35

变量说明

设变量$x_{ij}$：产品$i$中的原材料$j$的含量，其中$i$为产品名称(1对应甲，以此类推)，$j$为原材料名称

模型建立

该问题要求求解利润最大时的生产规划安排，其中利润=收入-成本，我们利用线性规划模型进行求解：

目标函数：

$max_z=50(x_{11}+x_{12}+x_{13})+35(x_{21}+x_{22}+x_{23})+25(x_{31}+x_{32}+x_{33})-65(x_{11}+x_{21}+x_{31})-25(x_{12}+x_{22}+x_{32})-35(x_{13}+x_{23}+x_{33})$

其中：

$50(x_{11}+x_{12}+x_{13})+35(x_{21}+x_{22}+x_{23})+20(x_{31}+x_{32}+x_{33})$ 为总收入

$65(x_{11}+x_{21}+x_{31})+25(x_{12}+x_{22}+x_{32})+35(x_{13}+x_{23}+x_{33})$为总成本
约束条件：

$ x_{11}≥0.5(x_{11}+x_{12}+x_{13})$

对于产品甲，原材料1不少于50%

$ x_{12}+x_{13}-x_{11}≤0$

$ x_{12}≤0.25(x_{11}+x_{12}+x_{13})$

对于产品甲，原材料2不超过25%

$3x_{12}-x_{11}-x_{13}≤0$

$x_{21}≥0.25(x_{21}+x_{22}+x_{23})$

对于产品乙，原材料1不少于25%

$x_{22}+x_{23}-3x_{21}≤0$

$ x_{22}≤0.5(x_{21}+x_{22}+x_{23})$

对于产品乙，原材料2不超过50%

$x_{22}-x_{21}-x_{23}≤0$

$x_{11}+x_{21}+x_{31}≤100$

对于原料1，每天最多供应量为100

$x_{12}+x_{22}+x_{32}≤100$

对于原料2，每天最多供应量为100

$x_{13}+x_{23}+x_{33}≤60$

对于原料3，每天最多供应量为60

$x_{ij}≥0，(i,j=1,2,3)$

模型求解

我们将公式简化成Matlab代码

C=[15 -25 -15 30 -10 0 40 0 10];
A=[-1 1 1 0 0 0 0 0 0;-1 3 -1 0 0 0 0 0 0;0 0 0 -3 1 1 0 0 0;0 0 0 -1 1 -1 0 0 0;1 0 0 1 0 0 1 0 0;0 1 0 0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1 0 0 1];
b=[0 0 0 0 100 100 60];
Aeq= [];
beq= [];
LB= zeros(9,1);
UB= [];
[x,fval]= linprog(C,A,b,Aeq,beq,LB,UB);